持ち上げ (lift) | 擴張 (extension)

射$ g:X\to Bの、epi 射$ p:E\twoheadrightarrow Bを通した持ち上げ (射)$ \tilde g:X\to E

可換圖式$ X\xrightarrow{g}B\xtwoheadleftarrow{p}E\xleftarrow{\tilde g}X ,$ \begin{matrix} & & E \\ & \nearrow_{\tilde g} & \darr_p \\ X & \xrightarrow[g]{} & B\end{matrix} ,$ \begin{CD}E @>p>> B \\ @A\tilde gAA @| \\ X @>>g> B\end{CD}

持ち上げの性質 (lifting property)

Lifting property - Wikipedia

lifting property in nLab

orthogonality in nLab$ i\perp p,$ i\cancel\square p,$ i\darr p

Quillen negation in nLab (weak orthogonal class)$ M^\perp,$ ^\perp M

$ M^\perp:=\{p|p\in{\rm Hom}_{\bf C},\forall i_{\in M}(i\perp p)\}\subset{\rm Hom}_{\bf C}

$ ^\perp M:=\{i|i\in{\rm Hom}_{\bf C},\forall i_{\in M}(i\perp p)\}\subset{\rm Hom}_{\bf C}

射$ i:A\to X,$ p:E\to Bが在る時、$ i\perp pである ($ iは$ pに對して left lifing property を持つ。$ pは$ iに對して right lifting property を持つ)とは、以下の條件を滿たす時を言ふ

可換圖式$ A\xrightarrow{f}E\xrightarrow{p}B\xleftarrow{g}X\xleftarrow{i}A が在れば、圖式を可換にする射$ h:X\to E が在る$ \begin{matrix}A & \xrightarrow{f} & E \\ \darr _i & \nearrow_h & \darr _p \\ X & \xrightarrow[g]{} & B \end{matrix}

$ \begin{CD}A @>f>> E @>p>> B \\ @| @. @| \\ A @>>i> X @>>g> B\end{CD}ならば$ \begin{CD}A @>f>> E @>p>> B \\ @| @A\exist hAA @| \\ A @>>i> X @>>g> B\end{CD}

homotopy lifting property

被覆空間 - Wikipedia#持ち上げ

Homotopy lifting property - Wikipedia

Fibration - Wikipedia#Homotopy lifting property

homotopy lifting property in nLab

可換圖式$ Y\xrightarrow{}E\xrightarrow{\pi}B\xleftarrow{}Y\times[0,1] \xleftarrow{({\rm id},0)}Y に對して$ Y\times[0,1]\to E が在る$ \begin{matrix}Y & \xrightarrow{} & E \\ \darr & \nearrow & \darr_\pi \\ Y\times[0,1] & \xrightarrow{} & B \end{matrix} ,$ ({\rm id},0)\perp\pi

$ \begin{CD}Y @>>> E @>\pi>> B \\ @| @. @| \\Y @>>({\rm id},0)> Y\times[0,1] @>>> B\end{CD} ならば$ \begin{CD}Y @>>> E @>\pi>> B \\ @| @A\exist AA @| \\Y @>>({\rm id},0)> Y\times[0,1] @>>> B\end{CD}

$ Y\times[0,1] は圓筒對象 (Cyl)$ {\rm Cyl}(Y)

2-射を考慮すると Kan 持ち上げに成る

擴張 (射) (extension)

extension in nLab

射$ f:A\to Eの、mono 射$ i:A\hookrightarrow Xを通した擴張 (射)$ \tilde f:X\to E

可換圖式$ A\xrightarrow{f}E\xleftarrow{\tilde f}X\xhookleftarrow{i}A,$ \begin{matrix}A & \xrightarrow{f} & E \\ \darr_i & \nearrow_{\tilde f} & \\ X & & \end{matrix},$ \begin{CD}A @>f>> E \\ @| @AA\tilde fA \\ A @>>i> X\end{CD}

擴張の性質 (extension property)

homotopy extension property

Homotopy extension property - Wikipedia

homotopy extension property in nLab

可換圖式$ A\xrightarrow{}Y^{[0,1]}\xrightarrow{\rm ev}Y\xleftarrow{i}X\xleftarrow{}A に對して$ X\to Y^{[0,1]} が在る$ \begin{matrix} A & \xrightarrow{} & Y^{[0,1]} \\ \darr_i & \nearrow & \darr_{\rm ev} \\ X & \xrightarrow{} & Y\end{matrix} ,$ i\perp{\rm ev}

$ \begin{CD}A @>>> Y^{[0,1]} @>{\rm ev}>> Y \\ @| @. @| \\ A @>>i> X @>>> Y\end{CD} ならば$ \begin{CD}A @>>> Y^{[0,1]} @>{\rm ev}>> Y \\ @| @A\exist AA @| \\ A @>>i> X @>>> Y\end{CD}

$ Y^{[0,1]} は道空閒對象 (Path)$ {\rm Path}(Y)

2-射を考慮するとKan 擴張に成る